Согласно словарям оба этих глагола имеют значение ‘смотреть пристально на кого-то или что-то'.

Но, тем не менее,

Stare – смотреть долгое время широко раскрытыми глазами, особенно в удивлении, с испугом или задумавшись. Stare означает 'смотреть пристально', а проще сказать 'уставиться'.

Gaze -  смотреть долгое время на кого-то или что-то, особенно с удивлением, восхищением или просто, gaze означает 'глазеть', иногда рассеянно, думая при этом о чём-то другом.

«Ты всегда озадачиваешь меня, когда пристально смотришь на меня. Интересно, о чём ты думаешь? А, знаешь, мне это нравится, потому что твои изумительно красивые глаза пронзают меня».